Question

已知A，B，C，D四點的坐標分別為A（-1，0），B（1，0），C（0，1），D（2，0），P是線段CD上的任意一點，則

AP

•

BP

的最小值是

-

1

5

．

Answer 1

分析：由題意可得：線段CD的方程為：x+2y-2=0，設點p（a，b），則b=1-

1

2

a，并且a∈[0，2]，結合題意可得：

AP

=（a+1，b），

BP

=（a-1，b），所以

AP

•

BP

=

5

4

a2-a，a∈[0，2]，再由二次函數(shù)的性質可得答案．

解答：解：因為C（0，1），D（2，0），
所以線段CD的方程為：x+2y-2=0，
設點p（a，b），則b=1-

1

2

a，并且a∈[0，2]，
因為A（-1，0），B（1，0），
所以

AP

=（a+1，b），

BP

=（a-1，b），
所以

AP

•

BP

=a²-1+b²=a2-1+(1-

1

2

a)2=

5

4

a2-a，a∈[0，2]
所以由二次函數(shù)的性質可得：當a=

2

5

時

AP

•

BP

由最小值-

1

5

．
故答案為：-

1

5

．

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算，以及二次函數(shù)定區(qū)間上求最值問題，此題屬于中檔題．