Question

將圓按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，若在⊙O上存在點(diǎn)C，使 =λa，求直線l的方程及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2）．

解析:

圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，

按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程為 x²＋y²＝5．

∵＝λa，且||＝||，∴⊥，∥a．

∴k_AB＝．設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，聯(lián)立，得

將方程（1）代入（2），整理得5x²＋4mx＋4m²－20＝0．（※）

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

        x₁＋x₂＝－，y₁＋y₂＝，＝（－，）．

因?yàn)辄c(diǎn)C在圓上，所以，解之，得．

此時(shí)，（※）式中的△＝16m²－20(4m²－20)＝300＞0．

所求的直線l的方程為2x－4y＋5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）；或直線l的方程為2x－4y－5＝0，對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，－2）．