【題目】已知函數(shù).
(1)討論極值點的個數(shù);
(2)若是的一個極值點,且,證明: .
【答案】(1) 當時,無極值點;當時,有個極值點;當或時,有個極值點;(2)證明見解析
【解析】
(1)求導得到;分別在、、和四種情況下根據(jù)的符號確定的單調(diào)性,根據(jù)極值點定義得到每種情況下極值點的個數(shù);(2)由(1)的結論和可求得,從而得到,代入函數(shù)解析式可得;令可將化為關于的函數(shù),利用導數(shù)可求得的單調(diào)性,從而得到,進而得到結論.
(1)
①當時,
當時,;當時,
在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增
為的唯一極小值點,無極大值點,即此時極值點個數(shù)為:個
②當時,令,解得:,
⑴當時,
和時,;時,
在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
為的極大值點,為的極小值點,即極值點個數(shù)為:個
⑵當時,,此時恒成立且不恒為
在上單調(diào)遞增,無極值點,即極值點個數(shù)為:個
⑶當時,
和時,;時,
在,上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
為的極大值點,為的極小值點,即極值點個數(shù)為:個
綜上所述:當時,無極值點;當時,有個極值點;當或時,有個極值點
(2)由(1)知,若是的一個極值點,則
又,即
令,則 ,
則
當時,,
當時,;當時,
在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減
,即
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如果數(shù)列對于任意,都有,其中為常數(shù),則稱數(shù)列是“間等差數(shù)列”,為“間公差”.若數(shù)列滿足,,.
(1)求證:數(shù)列是“間等差數(shù)列”,并求間公差;
(2)設為數(shù)列的前n項和,若的最小值為-153,求實數(shù)的取值范圍;
(3)類似地:非零數(shù)列對于任意,都有,其中為常數(shù),則稱數(shù)列是“間等比數(shù)列”,為“間公比”.已知數(shù)列中,滿足,,,試問數(shù)列是否為“間等比數(shù)列”,若是,求最大的整數(shù)使得對于任意,都有;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為實數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設是函數(shù)的導函數(shù),若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場營銷人員進行某商品M市場營銷調(diào)查發(fā)現(xiàn),每回饋消費者一定的點數(shù),該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化,經(jīng)過試點統(tǒng)計得到以下表:
反饋點數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百件)/天 | 0. 5 | 0. 6 | 1 | 1. 4 | 1. 7 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撋唐蜂N量(百件)與返還點數(shù)之間的相關關系. 請用最小二乘法求關于的線性回歸方程,并預測若返回6個點時該商品每天銷量;
(2)若節(jié)日期間營銷部對商品進行新一輪調(diào)整. 已知某地擬購買該商品的消費群體十分龐大,經(jīng)營銷調(diào)研機構對其中的200名消費者的返點數(shù)額的心理預期值進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
返還點數(shù)預期值區(qū)間(百分比) | ||||||
頻數(shù) | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
(。┣筮@200位擬購買該商品的消費者對返點點數(shù)的心理預期值的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計值(同一區(qū)間的預期值可用該區(qū)間的中點值代替;估計值精確到0. 1);
(ⅱ)將對返點點數(shù)的心理預期值在和的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費者中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取2名進行跟蹤調(diào)查,設抽出的2人中,至少有一個人是“欲望膨脹型”消費者的概率是多少?
參考公式及數(shù)據(jù):①,;②.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】學校從參加高一年級期中考試的學生中抽出50名學生,并統(tǒng)計了她們的數(shù)學成績(成績均為整數(shù)且滿分為150分),得到的樣本頻率分布表如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
2 | 0.04 | |
3 | 0.06 | |
14 | 0.28 | |
15 | 0.30 | |
4 | 0.08 | |
合計 |
(1)在給出的樣本頻率分布表中,求,,,的值;
(2)估計成績在120分以上(含120分)學生的比例;
(3)抽取的50名學生中,為了幫助成績差的學生提高數(shù)學成績,學校決定成立“二幫一”小組,即從成績在的學生中選兩位同學,共同幫助成績在中的某一位同學.已知甲同學的成績?yōu)?2分,乙同學的成績?yōu)?35分,求甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,
(1)求f(x)的表達式;
(2)若f(x)>a在x∈[﹣1,1]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)設,求證:存在唯一的,使得函數(shù)的圖象在點處的切線l與函數(shù)的圖象也相切;
(3)求證:對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關系:C(x)=若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元。設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達式。
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值。
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