Question

已知函數f（x）=e^x+ax-1（a∈R，且a為常數）．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a＜0時，若方程f（x）=0只有一解，求a的值；
（3）若對所有x≥0都有f（x）≥f（-x），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數的解析式，求出函數導函數，進而對a進行分類討論，即可得到不同情況下函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a＜0時，若方程f（x）=0只有一解，即函數f（x）=e^x+ax-1有且只有一個零點，結合（1）的結論，可得函數的最小值應該為0，而由f（0）=0，可得函數的最小值點為0，進而求出a的值；
（3）若對所有x≥0都有f（x）≥f（-x），即e^x-e^-x+2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，構造函數令g（x）=e^x-e^-x+2ax，結合g（0）=0，可得g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出函數的導函數，結合基本不等式求出最值，可得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x+ax-1
∴f′（x）=e^x+a
當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，此時f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當a＜0時，令f′（x）=e^x+a=0，則x=ln（-a）
當x∈（-∞，ln（-a））時，f′（x）＜0，當x∈（ln（-a），+∞）時，f′（x）＞0，
此時f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，ln（-a））；單調遞增區(qū)間為（ln（-a），+∞）；
（2）當a＜0時，若方程f（x）=0只有一解，
即函數f（x）=e^x+ax-1有且只有一個零點
由（1）得f[ln（-a）]=e^x+ax-1=0，又∵f（0）=e⁰+0-1=0，
故ln（-a）=0，解得a=-1
（3）若對所有x≥0都有f（x）≥f（-x），即e^x+ax-1≥e^-x-ax-1
e^x-e^-x+2ax≥0在（0，+∞）上恒成立；
令g（x）=e^x-e^-x+2ax，
∵g（0）=0
∴g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
即g'（x）=e^x+e^-x+2a≥0在（0，+∞）上恒成立
∵e^x+e^-x+2a≥2+2a
∴a≥-1

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數的零點，函數恒成立，是函數，導數，不等式的綜合應用，難度中檔．