Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②點(diǎn)（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心；
③函數(shù)y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）的最小正周期為1；
則其中真命題是

①④

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，然后作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象可判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確．

解答：解：由定義：m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），得-

1

2

＜x-m≤

1

2

，
據(jù)此可畫出函數(shù)圖象：

①∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）都有意義，故函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②∵（

1

2

，

1

2

）在圖象上，（-

1

2

，-

1

2

）不在圖象上，∴點(diǎn)（0，0）不是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心；②錯(cuò)；
③函數(shù)y=f（x）在（-

1

2

，

1

2

）上是增函數(shù)；③錯(cuò)；
④從圖象的周期性變化來(lái)看，函數(shù)y=f（x）的最小正周期為1；
由此可選擇①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題為新定義題目，解題的關(guān)鍵是讀懂定義內(nèi)涵，嘗試探究解決，屬難題．