Question

設(shè)P為雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線(xiàn)在第一象限內(nèi)的部分上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)C的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的焦點(diǎn)，若∠APF的最大值為

π

3

，則雙曲線(xiàn)的離心率為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意得A（

a2

c

，0），F(xiàn)（c，0），P（at，bt） 由直線(xiàn)的斜率公式，得K_PF=

bt

at-c

，K_PA=

bt

at- a 2 c

，再利用根據(jù)到角公式，得tan∠APF的表達(dá)式，最后利用基本不等式求得tan∠APF的最大值，以及取得取大值時(shí)有：cos∠APF=

1

1+(tan∠APF) 2

=

1

e

，結(jié)合∠APF的最大值為

π

3

，即可求得雙曲線(xiàn)的離心率．

解答：解：由題意得：A（

a2

c

，0），F(xiàn)（c，0），P（at，bt）
由直線(xiàn)的斜率公式，得
K_PF=

bt

at-c

，K_PA=

bt

at- a 2 c

根據(jù)到角公式，得
tan∠APF=

bt at-c - bt at- a 2 c

1+ bt at-c  • bt at- a 2 c

化簡(jiǎn)，得tan∠APF=

b 3

c3t+ a2c t -(a3+ac 2)

≤

b 3

2 c3t• a2c t -(a3+ac 2)

=

b 3

2ac 2- (a3+ac 2)

=

b

a

此時(shí) cos∠APF=

1

1+(tan∠APF) 2

=

1

e

則∠APF的最大值為 arccos

1

e

，
若∠APF的最大值為

π

3

，
則cos

π

3

=

1

e

⇒e=2
雙曲線(xiàn)的離心率為2
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．涉及了雙曲線(xiàn)方程中a，b和c的關(guān)系，漸近線(xiàn)問(wèn)題，離心率問(wèn)題等．