Question

（本題滿分12分）

已知直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若，求證：曲線是一個(gè)圓；

（2）若，當(dāng)且時(shí)，求曲線的離心率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為∴

在上∴，兩式相減得∴ 即： ∴曲線是一個(gè)圓  

（2）

【解析】

試題分析：（1）證明：設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為

∴ 即：

∴                         ……………………2分

在上

∴，

∴兩式相減得：         ……………………4分

∴ 即：                  

∴曲線是一個(gè)圓                           ……………………6分

（2）設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為，

∴曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓                     

∴ 即：                  

將代入整理得：

∴，      ……………………8分

在上   ∴

又

∴

∴2

∴

∴

∴

∴

∴                 ……………………10分

∴

∴

                                   ……………………12分

考點(diǎn)：橢圓性質(zhì)及直線與橢圓相交問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交時(shí)，常聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理求解關(guān)于弦長(zhǎng)，中點(diǎn)弦及垂直夾角等問(wèn)題；求橢圓離心率的題目需要轉(zhuǎn)化出關(guān)于的方程或不等式