Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+

1

4

n2=0；
（1）若m是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，n是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若m是從區(qū)間[0，3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，n是從區(qū)間[0，2]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)古典概型，由分步計(jì)數(shù)原理知基本事件共12個(gè)，當(dāng)m≥0，n≥0時(shí)，方程x²-mx+

1

4

n2=0有實(shí)根的充要條件為m≥n，滿足條件的事件中包含9個(gè)基本事件，由古典概型公式得到結(jié)果．
（2）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（m，n）|0≤m≤3，0≤n≤2}．
構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（m，n）|0≤m≤3，0≤n≤2，m≥n}．根據(jù)幾何概型公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)事件A為“方程x²-mx+

1

4

n2=0有實(shí)根”．
當(dāng)m≥0，n≥0時(shí)，方程x²-mx+

1

4

n2=0有實(shí)根的充要條件為m≥n（4分）
若m是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，n是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)包含的基本事件共12個(gè)：
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一個(gè)數(shù)表示m的取值，第二個(gè)數(shù)表示n的取值．
事件A中包含9個(gè)基本事件，
事件A發(fā)生的概率為P（A）=

9

12

=

3

4

．   （9分）
（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（m，n）|0≤m≤3，0≤n≤2}．
構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（m，n）|0≤m≤3，0≤n≤2，m≥n}．
由幾何概型的概率公式得到
所以所求的概率為P（A）=

3×2- 1 2 ×22

3×2

=

2

3

（14分）

點(diǎn)評(píng)：題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的高考時(shí)常以選擇和填空出現(xiàn)，有時(shí)文科會(huì)考這種類型的解答題．