Question

（1）求焦點(diǎn)為（0，-6），（0，6）且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-5）的雙曲線方程；
（2）正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求正三角形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上且c=6
設(shè)方程為（a＞0，b＞0），則a²+b²=c²=36
∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-5）
∴
∴a²=20，b²=16
∴雙曲線方程為；
（2）∵拋物線y²=2px關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，
∴A，B點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴直線FA傾斜角為30°，斜率為
∴直線FA方程為y=（x-）
與拋物線方程聯(lián)立，可得y2-2py-p²=0
∴y=（+2）p或y=（-2）p
∴|AB|=2（+2）p或|AB|=2（-2）p．
分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)c=6，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-5），建立方程，即可求得雙曲線方程；
（2）確定正三角形的邊所在直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，即可求正三角形的邊長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．