Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比為q
（1）若m，n∈N^*，證明：Sm+n=Sn+qn•Sm；
（2）若S_n、S_n+2、S_n+1依次成等差數(shù)列，求公比q的值．

Answer 1

分析：（1）分類討論，利用等比數(shù)列的求和公式，即可證得結(jié)論；
（2）利用S_n、S_n+2、S_n+1依次成等差數(shù)列，結(jié)合（1）的結(jié)論，可求公比q的值．

解答：（1）證明：若q=1，則Sm+n=(m+n)a1，Sn+qn•Sm=na1+ma1，
∴Sm+n=Sn+qn•Sm
若q≠1，則S_m+n=S_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+m=Sn+qn(a1+a2+…+am)=Sn+qn•Sm
綜上，Sm+n=Sn+qn•Sm；
（2）解：∵S_n、S_n+2、S_n+1依次成等差數(shù)列，
∴2S_n+2=S_n+S_n+1，
∴S_n+2-S_n+1=S_n-S_n+2，
∴qn+1S1=-qnS2
∴2q=-1
∴q=-

1

2

．

點評：本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合，考查等比數(shù)列的求和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．