Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在區(qū)間[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）判斷f（x）在區(qū)間[2，3]上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式可知，二次函數(shù)f（x）的圖象開口向上，對(duì)稱軸x=1，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]單調(diào)遞增．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值5，最小值2，可得

f(2)=2 f(3)=5

，由此解得a和b的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（3）根據(jù)g（x）=x²-（2+m）x+2在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，可得1+

m

2

≤2或 1+

m

2

≥4，由此求得m的范圍．

解答：解：（1）由f（x）=a（x-1）²+2+b-a，（a＞0）可知，
f（x）的圖象開口向上，對(duì)稱軸x=1，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]單調(diào)遞增，…（3分）
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值5，最小值2，可得

f(2)=2 f(3)=5

，
即

2+b=2 3a+2+b=5

，解得：a=1，b=0，…（7分）
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x²-2x+2．…（8分）
（3）由于函數(shù)g（x）=x²-（2+m）x+2在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，
而函數(shù)g（x）=x²-（2+m）x+2的對(duì)稱軸為 x=-

-(2+m)

2

=1+

m

2

，
故只需1+

m

2

≤2，或1+

m

2

≥4，求得m≤2，或m≥6，
故m的范圍為（-∞，2]∪[6，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和正明，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題