Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-ax．
（Ⅰ）若a＜0，求f（x）在[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，x₁＜x₂．①證明：x₁＜In2；②求f（x₁）的最小值，并指出此時(shí)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)a＜0，可以確定當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，從而得到求f（x）在[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)題意可得x₁，x₂是f′（x）=0的根，
①令h（x）=e^x-2x-a，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)h（x）在x=ln2時(shí)取得極小值，從而證得x₁＜ln2；
②根據(jù)題意可知，x₁是h′（x）=0的根，利用參變量分離，可得a=ex1-2x1，從而得到f（x₁）的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)，判斷出單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x₁）的最小值，從而求得a的值．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=e^x-x²-ax，
∴f'（x）=e^x-2x-a（a＜0），
∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f'（x）＞0，
∴f （x）在[-2，0]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（0）=1，
∴若a＜0，求f（x）在[-2，0]上的最大值為1；
（II）∵函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴方程e^x-2x-a=0有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，
令h（x）=e^x-2x-a，
①證明：∵h(yuǎn)（x）=e^x-2x-a，
∴h'（x）=e^x-2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，h'（x）＜0，則h（x）在（-∞，ln2）上是單調(diào)第減函數(shù)，
當(dāng)x＞ln2時(shí)，h'（x）＞0，則h（x）在（ln2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴h（x）在x=ln2時(shí)取得極小值，即最小值，
∴x₁＜ln2；
②∵x₁是f（x）的極值點(diǎn)，
∴h（x₁）=0，即ex1-2x1-a=0，
∴a=ex1-2x1，
∴f(x1)=ex1-

x

2 1

-(ex1-2x1)•x1=(1-x1)ex1+

x

2 1

，
∴f′(x1)=x1(2-ex1)，
由①可知，x₁＜ln2，
∴2-ex1＞0，
∴當(dāng)x₁＜0時(shí)，f'（x₁）＜0，則f（x₁）在（-∞，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
當(dāng)0≤x₁＜ln2時(shí)，f'（x₂）＞0，則f（x₁）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f （x₁）在（-∞，ln2）上的極小值為f（0）=1，即最小值，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f （x₁）在（-∞，ln2）上取得最小值，
∵a=ex1-2x1，
∴a=e⁰-2×0=1，
故f（x₁）的最小值為1，此時(shí)a的值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．過(guò)程中要注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，一般導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．