Question

已知x、y為正實(shí)數(shù),且滿足關(guān)系式x²-2x+4y²=0,求x·y的最大值.

Answer 1

分析:題中有兩個(gè)變量x和y,首先應(yīng)選擇一下因變量,將x、y表示為某一個(gè)變量(x或y或其他變量)的函數(shù)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.同時(shí)根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍,再利用導(dǎo)數(shù)(或均值不等式等)求函數(shù)的最大值.

解法一:4y²=2x-x²,∵y＞0,∴y=.

∴x·y=解得0＜x≤2.

設(shè)f(x)=xy=(0＜x≤2).

當(dāng)0＜x＜2時(shí),f′(x)=

令f′(x)=0，得x=或x=0（舍去）.

∴.又f(2)=0,∴函數(shù)f(x)的最大值為,即x·y的最大值為.

解法二:由x²-2x+4y²=0,得(x-1)²+4y²=1(x＞0,y＞0).

設(shè)x-1=cosα,y=sinα(0＜α＜π),

∴x·y=sinα(1+cosα).

設(shè)f(α)= sinα(1+cosα),

則f′(α)= ［-sin²α+(1+cosα)·cosα］

=(2cos²α+cosα-1)=(cosα+1)(cosα-).

令f′(α)=0,得cosα=-1或cosα=.

∵0＜α＜π,∴α=,此時(shí)x=,y=.

∴f(α)_max=

即當(dāng)x=,y=時(shí),(x·y)_max=.

綠色通道:明確解決問題的策略、指向和思考方法需要抓住問題的本質(zhì),領(lǐng)悟真諦,巧施轉(zhuǎn)化.在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過程中,關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設(shè)條件以免解題時(shí)陷于困境,功虧一簣.