Question

【題目】已知函數y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數，又是減函數．

(1)求證：對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；

(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）0≤a＜1.

【解析】試題分析：（1）由x2∈[﹣1，1]，可得﹣x2∈[﹣1，1]，利用函數y=f（x）在定義域[﹣1，1]上是奇函數，又是減函數，即可證明結論；（2）f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，等價于a2+a﹣2＜0，即可求出實數a的取值范圍．

解析：

(1)證明：若x1＋x2＝0，顯然不等式成立．

若x1＋x2＜0，則－1≤x1＜－x2≤1，

因為f(x)在[－1，1]上是減函數且為奇函數，

所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．

若x1＋x2＞0，則1≥x1＞－x2≥－1，

同理可證f(x1)＋f(x2)＜0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．

綜上得證，對任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．

(2)因為f(1－a)＋f(1－a2)＜0f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，

所以由f(x)在定義域[－1，1]上是減函數，得

解得0≤a＜1.