Question

（2013•內(nèi)江二模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2 3

3

，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線交于不同的兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

2 3

3

，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

，建立方程，求得幾何量，即可求得雙曲線方程；
（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，可得|CA|=|DA|，結(jié)合韋達定理，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得：e=

c

a

=

2 3

3

，則

a2+b2

a2

=

4

3

①
設直線方程為

x

a

-

y

b

=1，原點到直線距離為

3

2

，則

ab

a2+b2

=

3

2

，即

a2b2

a2+b2

=

3

4

②，
由①②可得a=

3

，b=1，∴雙曲線方程為

x2

3

-y2=1；
（2）設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 3 -y2=1

消去y整理可得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0
∵直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線交于不同的兩點C、D，
∴△=（-6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）＞0，即m²+1＞3k²，③
∵C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，
∴|CA|=|DA|
∴

x12+(y1+1)2

=

x22+(y2+1)2

∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m
∴（1+k²）（x₁+x₂）+2k（m+1）=0
∵x₁+x₂=

6km

1-3k2

∴（1+k²）×

6km

1-3k2

+2k（m+1）=0
∴4m+1-3k²=0
∵m²+1＞3k²＞0
∴m²+1＞4m+1＞0
∴-

1

4

＜m＜0或m＞4

點評：本題考查了利用雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．