Question

【題目】已知函數(shù)f（x）3,g（x）＝alnx﹣2x（a∈R）.

（1）討論g（x）的單調(diào)性；

（2）是否存在實數(shù)a,使不等式f（x）≥g（x）恒成立？如果存在,求出a的值；如果不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在,

【解析】

（1）先對函數(shù)求導,然后結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對a進行分類討論即可求解；

（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即xex﹣aelnx+2ex﹣3e≥0,構(gòu)造函數(shù)u（x）＝xex﹣aelnx+2ex﹣3e,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及導數(shù)即可求解.

解：（1）,x＞0,

（i）當a≤0時,g′（x）＜0,函數(shù)在（0,+∞）上單調(diào)遞減,

（ii）當a＞0時,令得，令，得，

所以函數(shù)g（x）在（0,）上單調(diào)遞增,在（）上單調(diào)遞減,

（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即恒成立,

即xex﹣aelnx+2ex﹣3e≥0,令u（x）＝xex﹣aelnx+2ex﹣3e,則u（1）＝0,

要使得原不等式成立,則u（x）在x＝1處取得極小值,

因為,

所以u′（1）＝0可得a＝4,

檢驗a＝4時,u′（x）,

設(shè)v（x）＝x（x+1）ex+2ex﹣4e,且v（1）＝0,

顯然v（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增,

當x∈（0,1）時,v（x）＜0,即u′（x）＜0,u（x）單調(diào)遞減,當x∈（1,+∞）時,v（x）＞0,即u′（x）＞0,u（x）單調(diào)遞增,

故u（x）的最小值u（1）＝0,滿足題意,

綜上，a＝4.