Question

選做題（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（1）（不等式選講）已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a），當函數(shù)f（x）的定義域為R時，則實數(shù)a的取值范圍為

（-∞，4）

（2）（幾何證明選講）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，CD⊥AB，垂足為D，且AD=5DB，設(shè)∠COD=θ，則tanθ的值為

5

2

．

（3）（坐標系與參數(shù)方程）圓O₁和圓O₂的極坐標方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，則經(jīng)過兩圓圓心的直線的直角坐標方程為

y=x+2

．

Answer 1

分析：（1）原問題?a＜（|x-1|+|x-5|）_min，通過分類討論求出其最小值即可；
（2）利用圓的性質(zhì)、射影定理及正切函數(shù)的定義即可得出；
（3）利用極坐標與直角坐標的互化公式、圓的標準方程及點斜式即可得出．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為R，∴|x-1|+|x-5|-a＞0對于x∈R恒成立，
而|x-1|+|x-5|-a＞0對于x∈R恒成立?a＜（|x-1|+|x-5|）_min．
令g（x）=|x-1|+|x-5|=

2x-6，當x＞5時 4，當1≤x≤5時 -2x+6，當x＜1時

，可知g（x）_min=4，∴a＜4．
（2）連接AC，BC，∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，又∵CD⊥AB，∴CD²=AD×DB，
∵AD=5DB，∴CD²=5DB²，∴CD=

5

DB．
∵r=

AD+DB

2

=3DB，∴OD=r-DB=2DB．
在Rt△OCD中，tanθ=

CD

OD

=

5 DB

2DB

=

5

2

．
（3）圓O₁的極坐標方程ρ=4cosθ可以化為ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²=4x，∴（x-2）²+y²=4，∴圓心O₁（2，0）；
圓O₂的極坐標方程ρ=-4sinθ可化為ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，配方得x²+（y-2）²=4，∴圓心O₂（0，2）．
∴經(jīng)過兩圓圓心的直線的直角坐標方程為 y=

0-2

2-0

x+2，即y=x+2．
故答案分別為（-∞，4），

5

2

，y=x+2．

點評：把問題正確等價轉(zhuǎn)化，熟練掌握分類討論的方法、圓的性質(zhì)、射影定理及正切函數(shù)的定義、極坐標與直角坐標的互化公式、圓的標準方程及點斜式是解題的關(guān)鍵．