Question

經(jīng)市場調(diào)查，某城市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數(shù)，且銷售量近似滿足g（t）=80-2t（件），價格近似滿足于f(t)=

15+ 1 2 t，(0≤t≤10) 25- 1 2 t，(10＜t≤20)

（元）．
（Ⅰ）試寫出該種商品的日銷售量y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，由價格乘以銷售量可得該種商品的日銷售量y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函數(shù)的最大值與最小值，從而可得該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，由價格乘以銷售量可得：

y= (15+ 1 2 t)(80-2t)，(0≤t≤10) (25- 1 2 t)(80-2t)，(10＜t≤20)

= (t+30)(40-t)，(0≤t≤10) (50-t)(40-t)，(10＜t≤20)

= -t2+10t+1200，(0≤t≤10) t2-90t+2000，(10＜t≤20)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知①當0≤t≤10時y=-t²+10t+1200=-（t-5）²+1225
函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為t=5，該函數(shù)在t∈[0，5]遞增，在t∈（5，10]遞減
∴y_max=1225（當t=5時取得），y_min=1200（當t=0或10時取得）
②當10＜t≤20時y=t²-90t+2000=（t-45）²-25
圖象開口向上，對稱軸為t=45，該函數(shù)在在t∈（10，20]遞減，t=10時，y=1200，y_min=600（當t=20時取得）
由①②知y_max=1225（當t=5時取得），y_min=600（當t=20時取得）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式．