Question

已知正項(xiàng)等差數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

an

3n

，記數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及S₃=12求出a₂=4；再代入2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列求出公差即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）的結(jié)論代入，直接利用數(shù)列求和的錯位相減法即可求T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，所以a₂=4．（1分）
又∵2a₁，a₂，a₃+1成等比數(shù)列，
∴a₂²=2a₁•（a₃+1），即a₂²=2（a₂-d）•（a₂+d+1），（3分）
解得，d=3或d=-4（舍去），
∴a₁=a₂-d=1，故a_n=3n-2．（6分）
（Ⅱ）bn=

an

3n

=

3n-2

3n

=(3n-2)•

1

3n

，
∴Tn=1×

1

3

+4×

1

32

+7×

1

33

++(3n-2)×

1

3n

，①
①×

1

3

得

1

3

Tn=1×

1

32

+4×

1

33

+7×

1

34

++(3n-5)×

1

3n

+(3n-2)×

1

3n+1

．②
①-②得

2

3

Tn=

1

3

+3×

1

32

+3×

1

33

+3×

1

34

++3×

1

3n

-(3n-2)×

1

3n+1

=

1

3

+3×

1 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-(3n-2)×

1

3n+1

=

5

6

-

1

2

×

1

3n-1

-(3n-2)×

1

3n+1

，（10分）
∴Tn=

5

4

-

1

4

×

1

3n-2

-

3n-2

2

×

1

3n

=

5

4

-

6n+5

4

×

1

3n

．（12分）

點(diǎn)評：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．