Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n＞0(0∈N^*),它的前n項(xiàng)和記為S_n，數(shù)列{S_n²}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列.

(1)求a_n與S_n的解析式；

(2)試比較S_n與3na_n(n∈N^*)的大小.

Answer 1

解析：(1)由已知S_n²=3+(n-1)=n+2.

∵a_n＞0(n∈N^*).∴S_n=(n∈N^*).a₁=S₁=.

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=.

∴a_n=

(2)當(dāng)n=1時(shí)，S₁=，3a₁=3,有S₁＜3a₁；

當(dāng)n=2時(shí)，S₂=，3·2a₂=6(-),有S₂＞3·2·a₂；

當(dāng)n=3時(shí)，S₃=，3·3a₃=9(-)，有S₃＞3·3·a₃；

當(dāng)n=4時(shí)，S₄=，3·4a₄=12(-)，有S₄＜3·4·a₄；

當(dāng)n=5時(shí)，S₅=，3·5a₅=15(-)，有S₅＜3·5·a₅.

猜想，當(dāng)n≥4時(shí)，S_n＜3na_n,證明如下：.

∵＞0,

∴只需證明＜3n,

只需證明,

只需證明(n+2)+＜3n.

由平均值定理，有＜=n+,

∴只需證明2n+＜3n.只需證n＞.

此不等式當(dāng)n≥4時(shí)成立，所以S_n＜3na_n，當(dāng)n≥4時(shí)成立.

綜上，當(dāng)n=1或n≥4,n∈N^*時(shí)，S_n＜3na_n；

當(dāng)n=2和n=3時(shí)，S_n＞3na_n.

溫馨提示

    應(yīng)該完整的記憶公式a_n=容易漏掉n=1的情況.對(duì)(2)，直接由條件推導(dǎo)結(jié)論比較困難，故用分析法.