Question

設(shè)函數(shù)y=f（x），且lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式及定義域；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可得lg（lgy）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），注意函數(shù)的定義域，即lgy=3x（3-x），再利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化即可求得求f（x）的解析式，定義域；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，根據(jù)“同增異減”的法則，分別研究內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3-x）
∴l(xiāng)g（lgy）=lg3x+lg（3-x）=lg[3x（3-x）]（0＜x＜3），
∴l(xiāng)gy=3x（3-x），
∴f（x）=10^3x（3-x），x∈（0，3）；
（2）由（1）可知，f（x）=10^3x（3-x），x∈（0，3），
令u=3x（3-x）=-3（x-

3

2

）²+

27

4

，
對(duì)稱軸為x=

3

2

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，
u在（0，

3

2

]上單調(diào)遞增，在[

3

2

，3）上單調(diào)遞減，
∵y=10^u是R上的增函數(shù)，
∴f（x）在（0，

3

2

]上單調(diào)遞增，在[

3

2

，3）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式，求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．考查了函數(shù)的定義域及其求法，對(duì)于函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)的解析式有意義的取值范圍，要熟悉基本初等函數(shù)的定義域以及常見函數(shù)的限制條件．同時(shí)考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號(hào)，下結(jié)論．屬于中檔題．