Question

（本小題滿分12分）

       已知函數(shù)f （x）＝alnx＋x²  （a為實(shí)常數(shù)）．[來源:ZXXK][來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

   （Ⅰ）若a＝－2，求證：函數(shù)f （x）在（1，＋∞）上是增函數(shù)；

   （Ⅱ）求函數(shù)f （x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；

   （Ⅲ）若當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f （x）≤（a＋2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（１）略；（２）ｅ；（３）

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，

       當(dāng)，，

  故函數(shù)在上是增函數(shù)．            …………2分

   （2），

       當(dāng)，．

       若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時(shí)，），

       故函數(shù)在上是增函數(shù)，

       此時(shí)．　                         …………4分

       若，當(dāng)時(shí)，；

       當(dāng)時(shí)，，

       此時(shí)是減函數(shù)；

       當(dāng)時(shí)，，

       此時(shí)是增函數(shù)．

       故

       ．           …………6分[來源:Zxxk.Com]

       若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時(shí)，），

       故函數(shù)在上是減函數(shù)，

       此時(shí)．                  …………7分

       綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；

       當(dāng)時(shí)，的最小值為，[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]

       相應(yīng)的x值為；

       當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的x值為．      …………8分[來源:學(xué).科.網(wǎng)]

   （3）不等式，                 

       可化為．

       ∵， ∴且等號(hào)不能同時(shí)取，

       所以，即，

       因而（）                                    …………9分

       令（），

       又，      …………10分

       當(dāng)時(shí)，，，

       從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），

       所以在上為增函數(shù)，   …………11分

       故的最大值為，

       所以a的取值范圍是． ……12分