【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=log2 +a).
(1)當(dāng)a=5時(shí),解不等式f(x)>0;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個(gè)元素,求a的取值范圍.
(3)設(shè)a>0,若對任意t∈[ ,1],函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=5時(shí),f(x)=log2 +5),

由f(x)>0;得log2 +5)>0,

+5>1,則 >﹣4,則 +4= >0,即x>0或x<﹣

即不等式的解集為{x|x>0或x<﹣ }.


(2)由f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0得log2 +a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0.

即log2 +a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],

+a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,①

則(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,

即(x+1)[(a﹣4)x﹣1]=0,②,

當(dāng)a=4時(shí),方程②的解為x=﹣1,代入①,成立

當(dāng)a=3時(shí),方程②的解為x=﹣1,代入①,成立

當(dāng)a≠4且a≠3時(shí),方程②的解為x=﹣1或x= ,

若x=﹣1是方程①的解,則 +a=a﹣1>0,即a>1,

若x= 是方程①的解,則 +a=2a﹣4>0,即a>2,

則要使方程①有且僅有一個(gè)解,則1<a≤2.

綜上,若方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個(gè)元素,則a的取值范圍是1<a≤2,或a=3或a=4.


(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,

由題意得f(t)﹣f(t+1)≤1,

即log2 +a)﹣log2 +a)≤1,

+a≤2( +a),即a≥ =

設(shè)1﹣t=r,則0≤r≤ ,

= = ,

當(dāng)r=0時(shí), =0,

當(dāng)0<r≤ 時(shí), = ,

∵y=r+ 在(0, )上遞減,

∴r+ = ,

= = ,

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥


【解析】(1)當(dāng)a=5時(shí),f(x)=log2 +5)>0,即為 +5>1,解分式不等式即可,(2)由f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0得log2+a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0.即log2 +a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],討論a的取值范圍進(jìn)行求解即可,(3)利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,可得f(t)﹣f(t+1)≤1,利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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(1)求圖中 的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在 歲的人數(shù);
(2)在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動,再從這20名中采用簡單隨機(jī)抽樣方法選取3名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人.記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為 ,求 的分布列及均值.

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其中長度在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.

(1)從上述8個(gè)零件中,隨機(jī)抽取一個(gè),求這個(gè)零件為一等品的概率;

(2)從一等品零件中,隨機(jī)抽取3個(gè).

①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果;

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B.﹣ 或﹣
C.﹣ 或﹣
D.﹣ 或﹣

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