Question

設S=x²+2xy+2y²+2x+1，其中x∈R，y∈R，則S的最小值為（ ）
A．1
B．-1
C．
D．0

Answer 1

【答案】分析：解法一：由S=x²+2xy+2y²+2x+1利用判別式法，我們可將S=x²+2xy+2y²+2x+1的表達式看成關于x的一元二次方程，進而根據方程對應的△≥0，求出S的取值范圍，進而得到S的最小值．
解法二：利用配方法，我們可將S=x²+2xy+2y²+2x+1化為（x+y+1）²+（y-1）²-1的形式，進而利用實數的性質得到S的最小值．
解答：解法一：
x²+（2y+2）x+（2y²+1-S）=0，
由△=（2y+2）²-4（2y²+1-S）≥0
得S≥y²-2y=（y-1）²-1≥-1．
當且僅當y=1，x=-2時，S_min=-1．
故選B．
解法二：
S=x²+2xy+2y²+2x+1=x²+2（y+1）x+（y+1）²+y²-2y=（x+y+1）²+（y-1）²-1≥-1．
當且僅當y=1，x=-2時，S_min=-1．選B．
點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，是對函數值域及最值求法的直接考查，其中（1）中使用的判別式法，關鍵是根據△≥0，求出S的取值范圍，而（2）中的配方法，關鍵是將函數的解析式化為式子平方與常數和的形式．