Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．設(shè)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，記點(diǎn)P在第一象限時(shí)直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量．
求：
（I）橢圓C的方程；
（II）的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，建立方程，求得幾何量，即可確定橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，確定m，k之間的關(guān)系，利用，可得，再借助于基本不等式，即可求得最小值及直線的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意，∵左焦點(diǎn)為，離心率為，
∴，，
∴a=2，于是b²=1，由于焦點(diǎn)在x軸上，故橢圓C的方程為…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（k＜0），
消去y得：…（7分）
∵直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴△=4k²m²-（1+4k²）（m²-1）=0
即m²=4k²+1①…（9分）
∵
∴②…（11分）
將①式代入②得：
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，
此時(shí)直線方程為：．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式，綜合性強(qiáng)．