Question

下列四個命題中：
①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點；
②若f′（x）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值；
③當m≥-1時，則函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R；
④“a=1”是“函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件；
其中真命題是

①②③

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得①正確；
②通過舉反例可得②不正確；
③根據(jù)對數(shù)的真數(shù)可取遍所有的正實數(shù)，可得此對數(shù)函數(shù)的值域為R，故③正確．
④根據(jù)a=1時，函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)時，a=1，可得④不正確．

解答：解：①對于函數(shù)f（x）=lnx-2+x，f′(x)=

1

x

+1，∴函數(shù)在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得，在區(qū)間（1，e）上存在零點，故①正確．
②不正確，如當f（x）=x³時，顯然滿足f′（0）=0，但y=f（x）=x³ 在x=0處沒有極值．
③m≥-1，函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的真數(shù)為x²-2x-m，判別式△=4+4m≥0，故真數(shù)可取遍所有的正實數(shù)，所以函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R，故③正確．
④由a=1可得f(x)=

1-ex

1+ex

f（x）=定義域為R，關于原點對稱f(-x)=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=-f（x），故函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，故充分性成立．
函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)，則有f（0）=0，∴a=1，故必要性成立，故“a=1”是“函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)”的充分必要條件，故④不正確．
故真命題是①②③
故答案為：①②③

點評：本題考查命題的真假的判斷，考查學生分析解決問題的能力，所以中檔題．