Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（1）若A、B的坐標(biāo)分別是A(

3

5

，

4

5

)，B(-

5

13

，

12

13

)，求cos（β-α）；
（2）若點C(-1 ， 

3

)，求函數(shù)f(α)=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B都是單位圓上的點，結(jié)合三角函數(shù)的定義算出α、β的正弦、余弦之值，再利用兩角差的余弦公式即可算出cos（β-α）的值；
（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，結(jié)合三角恒等變換化簡，得f（α）=2sin(α-

π

6

)，再根據(jù)α為銳角并利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不難得到函數(shù)f（α）的值域．

解答：解：（1）∵A(

3

5

，

4

5

)，B(-

5

13

，

12

13

)都在單位圓上
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義，得cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，cosβ=-

5

13

，sinβ=

12

13

．
因此，cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(-

5

13

)×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．       （ 6分）
（2）由題意，可知

OA

=(cosα，sinα)，

OC

=(-1，

3

)．
∴f(α)=

OA

•

OC

=

3

sinα-cosα=2sin(α-

π

6

)，
∵0＜α＜

π

2

，∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，可得-

1

2

＜sin(α-

π

6

)＜

3

2

由此可得：-1＜f(α)＜

3

，
∴函數(shù)f(α)=

OA

•

OC

的值域為(-1，

3

)．     （ 13分）

點評：本題以向量數(shù)量積運算為載體，求三角函數(shù)式的取值范圍，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義與三角恒等變換等知識，屬于中檔題．