Question

已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）如果對于任意、，且，都有，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)與，再利用點(diǎn)斜式寫出相應(yīng)的切線方程；（2）將問題等價(jià)于在上單調(diào)遞增來處理，然后分別考慮函數(shù)和
的單調(diào)性與極值，利用兩個(gè)函數(shù)的圖象確定直線的位置，利用來進(jìn)行限制，從而求解出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）由題意，得，其中，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042831500561.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為；
（2）先考察函數(shù)，的圖象，
配方得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且.
因?yàn)閷τ谌我?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042831188300.png" style="vertical-align:middle;" />、，且，都有成立，
所以.
以下考察函數(shù)，的圖象，
則，
令，解得.
隨著變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↘		↗

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.
因?yàn)閷τ谌我?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042831188300.png" style="vertical-align:middle;" />、，且，都有成立，
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042832343463.png" style="vertical-align:middle;" />（即），
所以的取值范圍為.