Question

對于在[a，b]上有意義的兩個函數(shù)f（x）與g（x），如果對任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是非接近的．現(xiàn)在有兩個函數(shù)f（x）=log_t（x-3t）與g（x）=log_t（

1

x-t

）（t＞0且t≠1），現(xiàn)給定區(qū)間[t+2，t+3]．
（1）若t=

1

2

，判斷f（x）與g（x）是否在給定區(qū)間上接近；
（2）若f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上都有意義，求t的取值范圍；
（3）討論f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是否是接近的．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=

1

2

時，f（x）-g（x）=log_t[（x-

3

2

）（x-

1

2

）]=logt[(x-1)2-

1

4

]考查函數(shù)h（x）=logt[(x-1)2-

1

4

]
在x∈[

5

2

，

7

2

]上的值域，即可
（2）由題意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0可求
（3）利用反證法：假設(shè)f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是接近的，由|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1可得-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1，考查函數(shù)G（x）=log_t（x²-4tx+3t²在[t+2，t+3]上的單調(diào)性，從而可求G（x）_max=log_t（4-4t），G（x）_min=log_t（9-6t），則有0＜t＜1，log_t（4-4t）≤1，log_t（9-6t）≥-1，可求

解答：解：（1）當(dāng)t=

1

2

時，f（x）-g（x）=log_t[（x-

3

2

）（x-

1

2

）]=logt[(x-1)2-

1

4

]
令h（x）=logt[(x-1)2-

1

4

]
當(dāng)x∈[

5

2

，

7

2

]時，h（x）∈[log6，-1]
即|f（x）-g（x）|≥1，
f（x）與g（x）是否在給定區(qū)間上是非接近的
（2）由題意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0
∴0＜t＜1                                                
（3）∵|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|
假設(shè)f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是接近的，
則有|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1∴-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1    
令G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），當(dāng)∴0＜t＜1時，[t+2，t+3]在x=2t的右側(cè)，
即G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），在[t+2，t+3]上為減函數(shù)，
∴G（x）_max=log_t（4-4t），
∴G（x）_min=log_t（9-6t）
所以由（*）式可得0＜t＜1，log_t（4-4t）≤1，log_t（9-6t）≥-1，解得
0＜t≤

9- 57

12

因此，當(dāng)0＜t≤

9- 57

12

時，f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是接近的；當(dāng)t＞

9- 57

12

時，
f（x）與g（x）在給定區(qū)間[t+2，t+3]上是非接近的．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用