Question

已知函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x．若f（a）=f（2020），則滿足條件的最小的正實(shí)數(shù)a是

 

．

Answer 1

分析：取x∈（2^m，2^m+1），則

x

2m

∈（1，2]；f（

x

2m

）=2-

x

2m

，從而f（x）=2^m+1-x，根據(jù)f（2020）=f（a）進(jìn)行化簡(jiǎn)，設(shè)a∈（2^m，2^m+1）則f（a）=2^m+1-a=28求出a的取值范圍．

解答：解：取x∈（2^m，2^m+1），則

x

2m

∈（1，2]；f（

x

2m

）=2-

x

2m

，從而
f（x）=2f（

x

2

）=…=2^mf（

x

2m

）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…
f（2020）=2¹⁰f（

2020

1024

）=2¹¹-2020=28=f（a）
設(shè)a∈（2^m，2^m+1）則f（a）=2^m+1-a=28
∴a=2^m+1-28∈（2^m，2^m+1）
即m≥5即a≥36
∴滿足條件的最小的正實(shí)數(shù)a是36
故答案為：36

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．