若點(diǎn)P在△AOB的邊AB上，且
OP
=m
OA
+4n
OB
（m，n∈R），則mn的最大值為
 
．
分析：求出
AP
 和
PB
，由
AP
∥
PB
，可得 m+4n=1，利用基本不等式可得 mn≤
1
16
，從而得到答案．
解答：解：∵
AP
=
OP
-
OA
=（m-1）
OA
+4n
OB
，
PB
=
OB
-
OP
=-m
OA
+（1-4n）
OB
，
由于點(diǎn)P在△AOB的邊AB上，故m、n 都是正數(shù)，且
AP
∥
PB
，∴（m-1）（1-4n）-4n（-m）=0，
化簡可得   m+4n=1，由基本不等式可得  1≥2
4mn
，∴mn≤
1
16
，當(dāng)且僅當(dāng) m=4n=
1
2
時(shí)，
等號(hào)成立，故mn的最大值為 
1
16
，
故答案為：
1
16
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△OAB中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=
p
，若
p
=t(
a
|
a
|
+
b
|
b
|
)，t∈R，則點(diǎn)P一定在（　�。�
A、∠AOB平分線所在直線上
B、線段AB中垂線上
C、AB邊所在直線上
D、AB邊的中線上

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中,=a,=b,P是△ABC所在平面上一點(diǎn),記=p.若p=t(),t∈R,則點(diǎn)P在(    )

A.邊AB的垂直平分線上

B.邊AB的中線上

C.∠AOB的平分線所在直線上

D.邊AB的中線所在直線上

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

若點(diǎn)P在△AOB的邊AB上，且數(shù)學(xué)公式=m數(shù)學(xué)公式+4n數(shù)學(xué)公式（m，n∈R），則mn的最大值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年廣西桂林市、河池市、防城港市高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

若點(diǎn)P在△AOB的邊AB上，且=m+4n（m，n∈R），則mn的最大值為    ．

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