Question

如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2

3

．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABM；
（Ⅱ）求直線AM與平面BCD所成角的大�。�

Answer 1

分析：（I）取CD中點O，連OB，OM，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得OM⊥平面BCD，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得OM∥AB，即O，M，A，B四點共面，最后由線面垂直的判定定理得到CD⊥平面ABM；
（Ⅱ）延長AM、BO相交于E，根據(jù)線面所成角的定義可知∠AEB就是AM與平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；

解答：解：（I）取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD．
∵平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD=CD，OM?平面MCD
∴OM⊥平面BCD，
又∵AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB，即O，M，A，B四點共面
∴OB，OM?平面ABM，
又∵OB∩OM=O
故CD⊥平面ABM；
（II）延長AM、BO相交于E，
∵AB⊥平面BCD，
則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角．
OB=MO=

3

，MO∥AB，則

EO

EB

=

MO

AB

=

1

2

，EOEO=OB=

3

，
所以EB=2

3

=AB，
故∠AEB=45°
即直線AM與平面BCD所成角的大小為45°．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，解答（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線關(guān)系，線面有關(guān)系及面面關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，解答（II）的關(guān)鍵是構(gòu)造出線面夾角的平面角．