Question

如圖，直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁．以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．(14分)

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：如圖建立坐標(biāo)系，以l₁為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．由題意可知：曲線C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點(diǎn)．

設(shè)曲線段C的方程為，其中分別為A、B的橫坐標(biāo)，．所以，． 由，得

          ①

           ②

聯(lián)立①②解得．將其代入①式并由p>0解得，或．

因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形，所以，故舍去．  ∴p=4，．

由點(diǎn)B在曲線段C上，得．綜上得曲線段C的方程為．

考點(diǎn)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系，

點(diǎn)評：這是一道綜合性較強(qiáng)的題目，在重點(diǎn)考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)同時(shí)，考查了直線與直線的位置關(guān)系，對考生分析問題解決問題的能力及運(yùn)算能力都有較好的考查功能。