Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4處取得極值．
（1）求常數(shù)k的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（3）設(shè)g（x）=f（x）+c，且x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在x=0，x=4處取得極值，

∴f'（0）=0，f'（4）=0，

可求得

（2）解：由（1）可知 ，f'（x）=x2﹣4x=x（x﹣4），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴當(dāng)x＜0或x＞4，f（x）為增函數(shù)，0≤x≤4，f（x）為減函數(shù)；

∴極大值為 ，極小值為

（3）解：要使命題成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1

由（2）得：

∴ ，

∴

【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)兩個(gè)極值點(diǎn)已知，令f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=0，把0和4代入求出k即可．（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=x2﹣4x=x（x﹣4）大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可，把函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的x值代到f（x）中，通過(guò)表格，判斷極大、極小值即可．（3）要使命題成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1，由（2）得：g（﹣1）和g（2）其中較小的即為g（x）的最小值，列出不等關(guān)系即可求得c的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．