【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ADC=60°,側面PDC是正三角形,平面PDC⊥平面ABCD,CD=2,M為PB的中點.
(1)求證:PA⊥平面CDM.
(2)求二面角D-MC-B的余弦值.
【答案】(1) 見解析;(2)-.
【解析】試題分析:
(1)取DC中點O,連接PO,根據題意可證得OA,OC,OP兩兩垂直,建立空間直角坐標系,運用坐標法可證得,從而PA⊥DM,PA⊥DC,根據線面垂直的判定定理可得結論.(2)結合(1)可求得平面BMC的一個法向量,又平面CDM的法向量為,求出兩向量夾角的余弦值,結合圖形可得二面角的余弦值.
試題解析:
(1)取DC中點O,連接PO.
∵側面PDC是正三角形,
∴PO⊥DC,
又平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,
∴PO⊥底面ABCD.
又底面ABCD為菱形,且∠ADC=60°,DC=2,
∴DO=1,OA⊥DC.
以O為原點,分別以OA,OC,OP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.
則, ,
∴,
∴,
∴PA⊥DM,PA⊥DC,
又DM∩DC=D,
∴PA⊥平面CDM.
(2)由(1)得,
設平面BMC的一個法向量,
由,得,
令z=1,得.
由(1)知平面CDM的法向量為,
∴,
由圖形知二面角D-MC-B是鈍角,
所以二面角D-MC-B的余弦值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數,),以為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)設,直線交曲線于兩點,是直線上的點,且,當最大時,求點的坐標.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知等比數列{an}的各項均為正數,且a1+2a2=5,4a=a2a6.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足b1=2,且bn+1=bn+an,求數列{bn}的通項公式;
(3)設,求數列{cn}的前n項和Tn.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.
(1)求證:AC⊥平面FBC;
(2)求四面體FBCD的體積;
(3)線段AC上是否存在點M,使得EA∥平面FDM?證明你的結論.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=x2-2ax+5.
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1,a],求實數a的值;
(2)若a≤1,求函數y=|f(x)|在[0,1]上的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1).證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱錐PABCD的體積為,求該四棱錐的側面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】“劍橋學派”創(chuàng)始人之一數學家哈代說過:“數學家的造型,同畫家和詩人一樣,也應當是美麗的”;古希臘數學家畢達哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美;我國古代數學家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,則等于( )
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
以平面直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知點的直角坐標為,若直線的極坐標方程為,曲線的參數方程是,(為參數).
(1)求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;
(2)設直線與曲線交于兩點,求.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com