Question

已知拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，直線y=x截拋物線C所得弦|ON|=4

2

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M，且

MA

=a

AF

，

MB

=b

BF

，對(duì)任意的直線l，a+b是否為定值？若是，求出a+b的值；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

y=x x2=2py

，解得O，N的坐標(biāo)，利用|ON|=4

2

，可求p的值，從而可得拋物線C的方程；
（2）直線方程為y=kx+1與x軸交于M（-

1

k

，0），與拋物線聯(lián)立，消元利用韋達(dá)定理，結(jié)合

MA

=a

AF

，

MB

=b

BF

，可得a=-

kx1+1

kx1

，b=-

kx2+1

kx2

，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）由

y=x x2=2py

，解得O（0，0），N（2p，2p）
∵|ON|=4

2

∴4p²+4p²=32
∴p=2
∴拋物線C的方程為x²=4y；
（2）顯然直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y=kx+1，l與x軸交于M（-

1

k

，0）
設(shè)l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線與拋物線聯(lián)立，消元可得x²-4kx-4=0
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
由

MA

=a

AF

，得（x₁+

1

k

，y₁）=a（-x₁，1-y₁），即a=-

kx1+1

kx1

同理b=-

kx2+1

kx2

∴a+b=-（2+

x2+x1

kx1x2

）=-1
∴對(duì)任意的直線l，a+b為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．