Question

【題目】已知直線l： （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（1）若點M的直角坐標(biāo)為（2， ），直線l與曲線C交于A、B兩點，求|MA|+|MB|的值；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換 得到曲線C′，求曲線C′的內(nèi)接矩形周長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=4，

直線l： ，轉(zhuǎn)化成普通方程為：y﹣ x+ =0，

設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，

將直線l的參數(shù)方程帶入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2=4，

整理得：t2+5t+3=0，

∴t1+t2=﹣5，t1t2=3，

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= = ，

（2）解： 代入曲線C的方程得： ，

設(shè)曲線C′的內(nèi)接矩形周長為P，曲線C′的內(nèi)接矩形的第一象限內(nèi)的頂點為N（x′，y′）（0＜x＜2 ，0＜y＜2），

x′2+3y′2=3，x′= ，

P=4x′+4y′=4 ，+4y′，

令f（y）=4 ，+4y′，

f′（y）= +4，

令f′（y′）=0得y=1，

當(dāng)0＜y′＜1時，f′（y′）＞0，當(dāng)1＜y＜1時，f′（y′）＜0．

∴當(dāng)y′=1時，f（y′）取得最大值16．

曲線C′的內(nèi)接矩形周長的最大值16

【解析】（1）求得曲線C的直角坐標(biāo)方程，把直線l代入圓的直角坐標(biāo)方程，化簡后利用韋達定理可求t1+t2 ， t1t2的值，由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|= ，即可求得|MA|+|MB|的值；（2）設(shè)矩形的頂點坐標(biāo)為（x′，y′），則根據(jù)x′，y′的關(guān)系消元得出P關(guān)于x（或y）的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出此函數(shù)的最大值．