Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù),若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】

（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出f′（1），f（1），代入切線方程即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的具體范圍；

（3）構(gòu)造函數(shù)（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需（x）max＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出（x）max，從而求出a的范圍．

（1）解: 當(dāng)時(shí),,, ,

曲線在點(diǎn)處的斜率為, 故曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即

（2）解: . 令,要使在定義域內(nèi)是增函數(shù),只需≥在區(qū)間內(nèi)恒成立. 依題意,此時(shí)的圖象為開口向上的拋物線,,其對稱軸方程為,,則只需≥,即≥時(shí),≥,≥,

所以定義域內(nèi)為增函數(shù),實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）解: 構(gòu)造函數(shù),,依題意,

由（2）可知≥時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),

即在上單調(diào)遞增,

,則,

此時(shí),,即成立.

當(dāng)≤時(shí),因?yàn)?/span>,,

故當(dāng)值取定后,可視為以為變量的單調(diào)遞增函數(shù),

則≤,,

故≤,

即≤,不滿足條件.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.