Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-a，g（x）=ln（x+1）．
（Ⅰ）求使f（x）≥g（x）在x∈（-1，+∞）上恒成立的a的最大值；
（Ⅱ）若0≤x₁＜x₂，求證ex2-x1-1＞ln

x2+1

x1+1

（Ⅲ）證明：e＞In(n+1)

1

n

+1，其中n∈N^*．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令F（x）=f （x）-g（x）=ex-ln（x+1）-a，x∈（-1，+∞），原問題轉(zhuǎn)化為F（x）≥0，x∈（-1，+∞）恒成立，等價于F _min（x）≥0，利用導(dǎo)數(shù)可求得F _min（x）；
（Ⅱ）由（I）知，e^x-1≥ln（x+1），x∈（-1，+∞），且x=0時等號成立，用

x2-x1

x1+1

替換不等式中的x得e

x2-x1

x1+1

-1＞ln

x2+1

x1+1

①，由x2-x1＞

x2-x1

x1+1

，得ex2-x1＞e

x2-x1

x1+1

②綜合①②可得結(jié)論．
（Ⅲ）構(gòu)造數(shù)列{x_n}，其中x_n=n-1，n∈N^*，則x_n+1-x_n=1，利用（Ⅱ）得，e-1＞ln

n+1

n

，n=1，2，…，n，上面n個式子相加可得結(jié)論；

解答：（I）解：令F（x）=f （x）-g（x）=e^x-ln（x+1）-a，x∈（-1，+∞），
則F′(x)=ex-

1

x+1

．令F'（x）=0，得x=0，
當(dāng)x∈（-1，0）時，ex＜1＜

1

x+1

即F'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，ex＞1＞

1

x+1

即F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
原問題轉(zhuǎn)化為F（x）≥0，x∈（-1，+∞）恒成立，等價于F _min（x）=F（0）=1-a≥0，即a≤1．
所以，使原問題成立的a的最大值是1；
（II）證明：由（I）知，e^x-1≥ln（x+1），x∈（-1，+∞），且x=0時等號成立，
又由0≤x₁＜x₂，得

x2+1

x1+1

-1=

x2-x1

x1+1

＞0，
因此，e

x2-x1

x1+1

-1＞ln

x2+1

x1+1

①，
而由x2-x1＞

x2-x1

x1+1

，得ex2-x1＞e

x2-x1

x1+1

②．
綜合①②得ex2-x1-1＞ln

x2+1

x1+1

；
證明：（Ⅲ）取數(shù)列{x_n}，其中x_n=n-1，n∈N^*，則x_n+1-x_n=1，
利用（Ⅱ）得，e-1＞ln

n+1

n

，n=1，2，…，n，
上面n個式子相加，得n（e-1）＞ln（n+1），即e＞ln(n+1)

1

n

+1，n∈N^*．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，本題難度較大，對能力要求較高．