Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標軸無交點，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增根據(jù)函數(shù)取零點的條件，可得f’（1）=0，由此構(gòu)造關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由（1）中結(jié)論，我們可以求出函數(shù)f（x）的解析式及其導函數(shù)的解析式，進而分析出函數(shù)的單調(diào)性和極值，再根據(jù)方程f（2^x）=m有三個不同實數(shù)解，即f（x）=m有三個不同的正實數(shù)解，求出滿足條件的實數(shù)m的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標軸無交點，則f（x）+p＞0，f（x）+p≠1，構(gòu)造關(guān)于P的不等式組，解不等式組求出實數(shù)p的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2
∴f’（x）=-x³+2x²+2ax-2
依題意，f（x） 在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在x=1處有極值，即f’（1）=-1+2+2a-2=0，解出a=

1

2

，
（2）由（1）得f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2
f’（x）=-x³+2x²+x-2
令t=2^x，（t＞0）則t=2^x為增函數(shù)，每個x對應(yīng)一個t，
而由題意：f（2^x）=m有三個不同的實數(shù)解，就是說，關(guān)于t的方程f（t）=m在t＞0時有三個不同的實數(shù)解．
∵f’（t）=-t³+2t²+t-2=-（t+1）（t-1）（t-2）
令f’（t）≥0以求f（t）的增區(qū)間，得-（t+1）（t-1）（t-2）≥0，保證t＞0，求得f（t）的增區(qū)間為1≤t≤2
令f’（t）≤0以求f（t）的減區(qū)間，得-（t+1）（t-1）（t-2）≤0，保證t＞0，求得f（t）的減區(qū)間為0＜t≤1或t≥2
所以f（t），
在t=1時有極小值，極小值為f（1）=-

37

12

，
在t=2時有極大值，極大值為f（2）=-

8

3

，
在t趨向于0時，f（t）趨向于-2．
∵-

37

12

＜-

8

3

＜-2
f（t）在t＞0上的圖象為雙峰形的一半，則要使f（t）=m有三個不同的實數(shù)解，須--

37

12

＜m＜-

8

3

（3）∵函數(shù)y=log₂[f（x）+p]的真數(shù)部分為f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函數(shù)y=log2[f（x）+p]的圖象與x軸無交點，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值為f（-1）=-

5

12

，即f（x）≤-

5

12

所以f（x）+p≤p-

5

12

，要使f（x）+p≠1，只有p-

5

12

＜1，才能滿足題意，解之得，p＜

17

12

，
又由f（x）+p＞0，即p＞

5

12

，
故p的范圍是

5

12

＜p＜

17

12

．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)取極值的條件，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根的存在性及根的個數(shù)判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是對函數(shù)性質(zhì)及解答方法比較綜合的考查，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，會使用導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性和極值點是解答本題的關(guān)鍵．