Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₃=4，a₇=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=

an

2n-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）令c_n=

an

an+1

+

an+1

an

，證明：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

分析：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，由a₃=4，a₇=8即可求得其等差d及通項(xiàng)公式a_n；
（2）由（1）知，a_n=n+1，從而b_n=

n+1

2n-1

，T_n=2+

3

2

+

4

22

+…+

n+1

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）整理可得c_n=2+

1

n+1

-

1

n+2

，從而可證c₁+c₂+c₃+…+c_n＜2n+

1

2

．

解答：解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，∵a₃=4，a₇=8，
∴等差d=

a7-a3

7-3

=1，
∴a_n=a₃+（n-3）d=4+（n-3）×1=n+1；
（2）∵b_n=

an

2n-1

=

n+1

2n-1

，
∴T_n=2+

3

2

+

4

22

+…+

n+1

2n-1

，①

1

2

T_n=1+

3

22

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

，②
①-②得：

1

2

T_n=2+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=1+

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n+1

2n

=3-

n+3

2n

，
∴T_n=6-

n+3

2n-1

．
（3）證明：∵c_n=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=（1-

1

n+2

）+（1+

1

n+1

）=2+

1

n+1

-

1

n+2

，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=2n+[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]
=2n+（

1

2

-

1

n+2

）
＜2n+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與分離常數(shù)法的綜合應(yīng)用，屬于難題．