Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，且經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，記橢圓的離心率為e．
（1）若直線l的傾斜角為

π

6

，求e的值；
（2）是否存在這樣的e，使得原點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)恰好在橢圓C上？若存在，請(qǐng)求出e的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出橢圓的右焦點(diǎn)，進(jìn)而可設(shè)直線方程，利用直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，可得一方程，利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)a²=b²+c²，根據(jù)離心率公式即可求出e的值；
（2）假設(shè)存在這樣的e，使得原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓C上，不妨設(shè)方程為x-my-c=0，從而利用原點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為（c，0），c=

a2-b2

，則直線的方程為x-

3

y-c=0
∵直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線
∴b=

1

2

c
∴a2=b2+c2=

5

4

c2
∴e=

c

a

=

2

5

5

（2）假設(shè)存在這樣的e，使得原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓C上，不妨設(shè)方程為x-my-c=0
∵直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線
∴m2=

c2

b2

-1
設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)O′（x₀，y₀），則x0=

2c

m2+1

，y0=-

2mc

m2+1

∵O′在橢圓上，代入可得

4c 2

a2(m2+1) 2

+

4m 2c 2

b2(m2+1) 2

=1
∴b²=3c²
∴m2=

c2

b2

-1＜0不成立
故不存在這樣的e，使得原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓C上

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查橢圓的離心率，考查對(duì)稱問(wèn)題，有一定的綜合性．