Question

已知f（x）是定義在R上連續(xù)的偶函數(shù)，f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度又得到一個(gè)奇函數(shù)，且f（2）=-1．則f（8）+f（9）+f（10）+…+f（2012）=

1

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Answer 1

分析：由題意知偶函數(shù)f（x）的關(guān)系式f（x）=f（-x），又得f（x+1）=f（-x-1），f（x）在右移之前有對(duì)稱中心（-1，0），故函數(shù)f（x）存在周期T=4，在利用題中的條件得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)值，利用周期性即可求解．

解答：解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x） 用x+1換x，即f（x+1）=f（-x-1）①
∵將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位后，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，
∴函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心（-1，0），有f（-1）=0，且f（-1-x）=-f（-1+x）  ②
∴由①②得f（x+1）=-f（-1+x），可得f（x+2）=-f（x），得到f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）存在周期T=4，
∵f（2）=-1，f（-1）=0，
利用條件可以推得：f（-1）=f（1）=0，f（2）=-1=-f（0），f（3）=f（4-1）=0，
f（-3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=1，
所以在一個(gè)周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
∴f（8）+f（9）+f（10）+…+f（2012）=f（8）=f（4）=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用函數(shù)的對(duì)稱性及奇偶性找到函數(shù)的周期，深刻理解以上性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，再利用已知的條件求出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值．