Question

已知橢圓

x2

a12

+

y2

b12

=1(a1＞b1＞0)與雙曲線

x2

a22

-

y2

b22

=1(a2＞0，b2＞0)共焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓與雙曲線在第一象限的公共點(diǎn)，如果以橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以y軸為準(zhǔn)線的拋物線恰過P點(diǎn)，那么橢圓的離心率e₁與雙曲線的離心率e₂之間的關(guān)系為（　�。�

• A．e₂-e₁=1
• B．e₁+e₂=2
• C．

  1

  e1

  -

  1

  e2

  =1
• D．

  1

  e1

  +

  1

  e2

  =2

Answer 1

分析：設(shè)橢圓及雙曲線的半焦距為c，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）．根據(jù)圓錐曲線的共同定義，則對(duì)于橢圓而言：PF₁=a₁+e₁x，PF₂=a₁-e₁x，對(duì)于雙曲線而言：PF₁=e₂x+a₂，PF₂=e₂x-a₂，對(duì)于拋物線而言：PF₂=x，從而建立a₁-e₁x=e₂x-a₂=x，消去x化簡(jiǎn)即得答案．

解答：解：設(shè)橢圓及雙曲線的半焦距為c，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）．
則對(duì)于橢圓而言：PF₁=a₁+e₁x，PF₂=a₁-e₁x，
對(duì)于雙曲線而言：PF₁=e₂x+a₂，PF₂=e₂x-a₂，
對(duì)于拋物線而言：PF₂=x，
∴a₁-e₁x=e₂x-a₂=x，
∴消去x得：

e 2-1

e 1+1

=

e 1

e 2

⇒e₂-e₁=1．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查圓錐曲線的共同特征、圓錐曲線的共同定義的應(yīng)用、圓錐曲線的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．