Question

設
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得關于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；
（Ⅲ）求證：（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

證明：（1）∵
∴，
設．
∴，
∴y=g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)．
∴，
∴，
∴函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)．
（2）ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，?ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
設h（x）=ln（1+x）-ax，則h（0）=0，
∴，
若a≥1，則x∈[0，+∞）時，恒成立，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上為減函數(shù)
∴l(xiāng)n（1+x）-ax＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)n（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
若a≤0顯然不滿足條件，
若0＜a＜1，則時，，
∴時h'（x）≥0，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在上為增函數(shù)，
當時，h（x）=ln（1+x）-ax＞0，
不能使ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1
（3）由（2）可知在（0，+∞）上恒成立，
∴，即，
取，即可證得對一切正整數(shù)n成立．
分析：（1）已知f（x），構造新的函數(shù)g（x），利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)的方法步驟；
（2）將ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立等價于ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，構造新的函數(shù)h（x）=ln（1+x）-ax，x∈[0，+∞），依題意，我們所要求的a的取值范圍，需要滿足以下條件：能夠使得h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）由（2）可知在（0，+∞）上恒成立，可以得到＜e，只需令=n，即可．
點評：本題綜合性較強，主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以此為主線，貫穿其中．但對以上三個問題的解答，關鍵是構造函數(shù)，這是函數(shù)這一章節(jié)的重點和難點．