(2012•浦東新區(qū)二模)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知向量
a
=(cos
3
+sin
3
,1)
(n∈N* )和
b
= (an,cos
3
-sin
3
)
 (n∈N* )滿足
a
b

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求S30;
(3)設bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項的和為Tn
分析:(1)由已知可得 an=λ(cos
3
+sin
3
,1)
,且 λ=cos
3
-sin
3
,故an=(cos
3
-sin
3
)•(cos
3
+sin
3
,1)
=cos
2nπ
3

(2)根據(jù)數(shù)列{an}的前幾項分別為1,-
1
2
,-
1
2
,1,-
1
2
,-
1
2
,1,-
1
2
,-
1
2
,…可得{an}為周期為3的周期數(shù)列,且 a3k-2+a3k-1+a3k=0,k∈z,由此求得S30 的值.
(3)根據(jù)bn=nan =n cos
2nπ
3
,分 n=3k,n=3k-1,n=3k-2,分別求出數(shù)列{bn}的前n項的和為Tn
解答:解:(1)∵
a
b
,∴
b
a
=λ(cos
3
+sin
3
,1)
,再由
b
= (an,cos
3
-sin
3
)
,
可得 an=λ(cos
3
+sin
3
,1)
,且 λ=cos
3
-sin
3

∴an=(cos
3
-sin
3
)•(cos
3
+sin
3
,1)
=cos2
3
-  sin2
3
=cos
2nπ
3

(2)數(shù)列{an}的前幾項分別為1,-
1
2
,-
1
2
,1,-
1
2
,-
1
2
,1,-
1
2
,-
1
2
,…為周期為3的周期數(shù)列,
且 a3k-2+a3k-1+a3k=0,k∈z. 
故 S30 =0.
(3)∵bn=nan =n cos
2nπ
3
,故當 n=3k,k∈N* 時,
∵b3k-2+b3k-1+b3k=(3k-2)(-
1
2
)+(3k-1)(-
1
2
)+3k•1=
3
2
,
∴Tn=T3k=
3k
2
=
3
2
×
n
3
=
n
2

當 n=3k-1,k∈N*時,Tn=T3k-1=T3k-b3k=
3k
2
-3k•1=-
3k
2
=-
3
2
n+1
3
=-
n+1
2

當 n=3k-2,k∈N* 時,
Tn=T3k-2-b3k-b3k-1=
3k
2
-3k-(3k-1)(-
1
2
)=-
3k
2
+
3k -1
2
=-
1
2

故 Tn=
n
2
  , (n=3k)
-
n+1
2
, (n=3k-1)
-
1
2
 ,   (n=3k-2)
點評:本題主要考查數(shù)列的函數(shù)的函數(shù)特性,數(shù)列求和,兩個向量共線的性質,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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log2(x-2) 
的定義域為
[3,+∞)
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①X∈M、∅∈M;
②對于X的任意子集A、B,當A∈M且B∈M時,有A∪B∈M;
③對于X的任意子集A、B,當A∈M且B∈M時,A∩B∈M;
則稱M是集合X的一個“M-集合類”.
例如:M={∅,,{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X={a,b,c}的一個“M-集合類”.已知集合X={a,b,c},則所有含{b,c}的“M-集合類”的個數(shù)為
10
10

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10
,且(1+2i)z(i是虛數(shù)單位)在復平面上對應的點在直線y=x上,求z.

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同步練習冊答案
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