Question

（2012•奉賢區(qū)一模）出租車幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)立的．在出租車幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如（x，y）的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線還是滿足ax+by+c=0的所有（x，y）組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣．直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，請(qǐng)解決以下問題：
（1）求點(diǎn)A（1，3）、B（6，9）的“距離”|AB|；
（2）求線段x+y=2（x≥0，y≥0）上一點(diǎn)M（x，y）的距離到原點(diǎn)O（0，0）的“距離”；
（3）定義：“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，點(diǎn)A（1，3）、B（6，9），C（1，9），求經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)確定的一個(gè)“圓”的方程，并畫出大致圖象；（說明所給圖形小正方形的單位是1）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)出租車幾何學(xué)中“距離”的定義，易得|AB|=|6-1|+|9-3|=5+6=11；
（2）用出租車幾何學(xué)中“距離”的定義代入，再結(jié)合已知條件去絕對(duì)值化簡(jiǎn)，可得M到原點(diǎn)O的“距離”等于2；
（3）設(shè)“圓”的“圓心”坐標(biāo)為M（m，n），由|MA|=|MB|=|MC|結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)，得到M（

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2

，6），再根據(jù)出租車幾何學(xué)中“距離”的定義，求出“半徑”R的值，即可畫出這個(gè)“圓”的大致圖象．

解答：解：（1）根據(jù)出租車幾何學(xué)中“距離”的定義，得
|AB|=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|6-1|+|9-3|=5+6=11…（3分）
（2）點(diǎn)M（x，y）到原點(diǎn)的距離為：|MO|=|x-0|+|y-0|=|x|+|y|
∵線段x+y=2上的點(diǎn)M（x，y）滿足x≥0，y≥0
∴|x|=x，|y|=y=2-x，可得|MO|=|x|+|y|=x+y=2…（6分）
（3）設(shè)“圓心”坐標(biāo)為M（m，n），則
由|MA|=|MC|，得|m-1|+|n-3|=|m-1|+|n-9|，所以點(diǎn)M在y=6上…（7分）
又因?yàn)閨MB|=|MC|即|m-1|+|n-9|=|m-6|+|n-9|，所以點(diǎn)M在x=

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上…（8分）
∴M（

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2

，6）…（10分）
R=|AM|=|

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-1|+|6-3|=

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…（14分）
“圓M”的圖象如右圖所示     …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)新的定義，叫我們求該定義下的“距離”和“圓”的圖象，著重考查了對(duì)新定義的理解和進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．