【題目】如圖,正方形的邊長為2,,分別為的中點(diǎn),與交于點(diǎn),將沿折起到的位置,使平面平面.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)判斷線段上是否存在點(diǎn),使平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在點(diǎn),使平面,此時(shí)的值為.
【解析】
(Ⅰ)先證明平面,又因?yàn)?/span>平面,所以平面平面;(Ⅱ)因?yàn)?/span>兩兩垂直,所以,以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求二面角的余弦值;(Ⅲ)設(shè)(),利用向量法求得.所以存在點(diǎn),使平面,此時(shí)的值為.
解:(Ⅰ)因?yàn)檎叫?/span>中,,分別為的中點(diǎn),
所以,.
所以.
所以.
又因?yàn)?/span>平面,
平面平面,
平面平面,
所以平面.
又因?yàn)?/span>平面,
所以平面平面.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>兩兩垂直,所以,以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖,
則,,
所以,,
由(Ⅰ)知,是平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面的法向量為,
則,即,
令,則,.所以.
.
由圖可知所求二面角為鈍角,
所以二面角的余弦值為.
(Ⅲ)設(shè)(),
,
若使平面,則.
即,解得.
所以存在點(diǎn),使平面,此時(shí)的值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道,連結(jié)M,N兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧,若點(diǎn)M在點(diǎn)O正北方向3公里;點(diǎn)N到的距離分別為4公里和5公里.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求鐵路線所在圓弧的方程;
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)O的正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點(diǎn)O的距離大于4公里,并且鐵路上任意一點(diǎn)到校址的距離不能小于公里,求該校址距點(diǎn)O的最短距離(注:校址視為一個(gè)點(diǎn))
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【題目】已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,,,則的值( 。
A. 恒為正B. 恒為負(fù)C. 恒為0D. 無法確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)。
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中為自然對數(shù)的底數(shù));
(2)若對任意恒成立,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每當(dāng)《我心永恒》這首感人唯美的歌曲回蕩在我們耳邊時(shí),便會想起電影《泰坦尼克號》中一暮暮感人畫面,讓我們明白了什么是人類的“真、善、美”.為了推動我市旅游發(fā)展和帶動全市經(jīng)濟(jì),更為了向外界傳遞遂寧人民的“真、善、美”.我市某地將按“泰坦尼克號”原型比例重新修建.為了了解該旅游開發(fā)在大眾中的熟知度,隨機(jī)從本市歲的人群中抽取了人,得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示,現(xiàn)讓他們回答問題“該旅游開發(fā)將在我市哪個(gè)地方建成?”,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:
組號 | 分組 | 回答正確的人數(shù) | 回答正確的人數(shù) 占本組的頻率 |
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 |
(1)求出的值;
(2)從第組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人,求第組每組抽取的人數(shù);
(3)在(2)中抽取的人中隨機(jī)抽取人,求所抽取的人中恰好沒有年齡在段的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“有黑掃黑、無黑除惡、無惡治亂”,維護(hù)社會穩(wěn)定和和平發(fā)展.掃黑除惡期間,大量違法分子主動投案,某市公安機(jī)關(guān)對某月連續(xù)7天主動投案的人員進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),表示第天主動投案的人數(shù),得到統(tǒng)計(jì)表格如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 7 |
(1)若與具有線性相關(guān)關(guān)系,請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)判定變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).(寫出正確答案,不用說明理由)
(3)預(yù)測第八天的主動投案的人數(shù)(按四舍五入取到整數(shù)).
參考公式:, ./span>
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)與圓無公共點(diǎn),過拋物線C上一點(diǎn)M作圓D的兩條切線,切點(diǎn)分別為E,F,當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C上運(yùn)動時(shí),直線EF都不通過的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)區(qū)域,求這個(gè)區(qū)域的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)若,求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍.
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