【題目】已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,,,,,分別是的中點.

(Ⅰ)證明:平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析:解法一:依題意可知兩兩垂直,以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系,

(1)利用直線的方向向量和平面的法向量垂直,即可證得線面平面;

(2)求出兩個平面的法向量,利用兩個向量的夾角公式,即可求解二面角的余弦值.

解法二:利用空間幾何體的點線面位置關(guān)系的判定定理和二面角的定義求解:

(1)設(shè)的中點為,連接,證明四邊形為平行四邊形,得出線線平行,利用線面平行的判定定理即可證得線面平面;

(2)以及二面角的平面角,在直角三角形中求出其平面角的余弦值,即可得到二面角的余弦值.

詳解:解法一:依條件可知、兩兩垂直,

如圖,以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系.

根據(jù)條件容易求出如下各點坐標(biāo):,,,,,.

(Ⅰ)證明:∵,,

是平面的一個法向量,且

所以.

又∵平面,平面

(Ⅱ)設(shè)是平面的法向量,

因為,

,得.

解得平面的一個法向量,

由已知,平面的一個法向量為

,

∴二面角的余弦值是.

解法二:

(Ⅰ)證明:設(shè)的中點為,連接,

,分別是,的中點,∴,

又∵,,

,∴四邊形是平行四邊形,

,平面平面,

平面;

(Ⅱ)如圖,設(shè)的中點為,連接,

,底面,,,

底面,

在平面內(nèi),過點,垂足為,

連接,,,,

平面,則,

是二面角的平面角,

,由,得,

所以,所以,

∴二面角的余弦值是.

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