Question

△ABC中，AB=AC=2，BC邊上有2010個不同點P_n，記a_n=

APN

2+

BPN

•

pnC

（n=1，2，A₂₀₁₀），則a₁+a₂+…+a₂₀₁₀等于（　�。�

A．2010

B．8040

C．4020

D．1005

Answer 1

分析：首先過△ABC頂點A作BC邊上的高AD，由已知得BD=CD，再由兩個直角三角形運(yùn)用勾股定理推出即a₁=

AP 1

²+

BP 1

•

P1C

=

AP 1

 2+PB₁•P₁C=AB²=4，同理同理：a₂=4，a₃=4，…，a_n=4，從而求解．

解答：解：過△ABC頂點A作BC邊上的高AD，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
在Rt△ADP₁中，由勾股定理得：
AP₁²=AD²+P₁D²，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD²=AB²-BD²，
所以AP₁²+

BP 1

•

P1C

=

AP 1

 2+P1B•P1C
=AD²+P₁D²+P₁B•P₁C
=（AB²-BD²）+P₁D²+P₁B•P₁C
=AB²-BD²+P₁D²+（BD-P₁D）（CD-P₁D）
=AB²-BD²+P₁D²+（BD-P₁D）（BD+P₁D）
=AB²-BD²+P₁D²+BD²-P₁D²
=AB²=4．
即a₁=4，
同理：a₂=4，a₃=4，…，a_n=4，
所以a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=4×2010=8040．
故選B．

點評：此題考查的知識點是勾股定理以及數(shù)列與向量的綜合，關(guān)鍵是由已知等腰三角形作底邊的高，得兩直角三角形，運(yùn)用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)推出a₁=

AP 1

²+

BP 1

•

P1C

=

AP 1

 2+PB₁•P₁C=AB²=4．